立体几何是 *** 的重点内容之一，每年 *** 大题必有立体几何题，尤其是之一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的 *** 主要有：几何法和空间向量法。在 *** 中其难度属中档题。
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直线、平面垂直专题总结
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一、前言
之前作者已经向读者们讲解了直线与平面，平面与平面平行怎么判定的 *** ，以及相关的一些 *** 质。如果没有看过的读者，可以去翻看一下，作者之前发布的文章。这次作者给读者带来的是直线与平面垂直的判定 *** ，以及线面垂直有什么 *** 质。
二、直线与平面垂直怎么判定？
在讲解直线与平面垂直以前，先来认识一下什么是线面垂直。
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，那我们就说直线l与平面α互相垂直，记做：
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂直，如下图：
线面垂直 *** 的引入还是由线线垂直＋两条相交直线确定一个平面而得到。
①首先线线垂直容易判定，根据夹角是不是等于90°，或者根据两个向量相乘是否等于0。（如果对于向量相乘等于零说明两个向量垂直，不懂的读者可以去翻看一下之前的作者发布的）
②两个相交的直线可以确定一个平面，通过一条直线与两条相交直线的垂直，就可以推出来线面垂直。
因此数学家们就整理出了下述的线面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
三、直线与平面垂直有什么 *** 质？
直线与平面垂直会有什么 *** 质？读者们可以想到什么吗？
经过数学家们不断地研究，最后总结推理出：
垂直于同一平面的两条直线平行。
上述就是画图表示，但是需要知道数学表达 *** ：
批注：
读者有什么不懂的可以留言，想要知道什么高中解题经验可以给作者留言啊！
关注！关注！关注！重要事情说三遍
平面与平面垂直怎么判定？及其 *** 质你还记得吗？一、前言
之前作者已经向读者们讲解了直线与平面，平面与平面平行怎么判定的 *** ，以及相关的一些 *** 质，以及直线与平面垂直的判定 *** 和 *** 质。如果没有看过的读者，可以去翻看一下，作者之前发布的文章。这次作者给读者带来的是平面与平面垂直的判定 *** ，以及面面垂直有什么 *** 质。
二、平面与平面垂直怎么判定？
之前作者已经给读者们讲解了直线与平面垂直的判定 *** ，那现在的平面与平面垂直的判定是很简单的，首先就需要判定一个线面平面，然后再利用直线在这个平面中，这样就能够证明平面与平面垂直。
图像表示如下：
数学表达形式如下：
三、平面与平面垂直有什么 *** 质？
定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
图像表示：
数学符号表达形式：
以上定理是很重要，可以从面面垂直推出线面垂直。
在常见的证明中，数学题目中会常给面面垂直，就需要读者合理利用上述定理求解。
批注：
读者有什么不懂的可以留言，想要知道什么高中解题经验可以给作者留言啊！
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高中数学：“新课标”立体几 *** 行与垂直经典证明例题+解题技巧立体几何证明主要考察空间 *** 、线与面、面与面的平行和垂直问题。
随机组合之后，就产生了6种问题形式：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行和面面垂直。
平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用 *** 有：三角形的中位线、平行线分线段成比例(三角形相似）、平行四边形等；
垂直问题的核心是线线垂直。证明线线垂直的常用 *** 有：等腰三角形底面边上的 *** 、勾股定理、平面几何法等。
今天为大家分享的是：
高中数学新课标立体几何常考证明题汇总，希望大家能打印出来，好好研究学习。
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高中数学：几种必须掌握的线面垂直的证明 ***证明线面垂直的 *** 一般有很多种，其中利用定义，判定定理和面面垂直的 *** 质是最基本也是很重要的的 *** ，但是，有时这几种 *** 都不管用或者证明起来很困难，这时如果建立空间坐标系，使用空间向量法，说不定就会柳暗花明又一村。
（1）利用定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。
符号表示：任意a?α，都有l⊥a=>l⊥α
（2）利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号表示：a?α，b?α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b=>β∥α
（3）利用面面垂直的 *** 质：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，则这条直线与另一个平面垂直。
（4）空间向量法：即证明直线的向量与平面的法向量平行，就可以说明该直线与平面垂直。
用空间向量法证明线面垂直的 *** 和步骤为：
①建立空间直角坐标系
②将相关直线的方向向量用坐标表示
③找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；或求出平面的法向量
④分别计算所求直线与以上两相交直线向量的数量积，数量积都为0；或判断直线的方向向量与平面的法向量平行。
另外，还有：
（5）两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直；
（6）一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。
利用判定定理、面面垂直的 *** 质
例1、（2019秋?赣州期末）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E为AD的中点，如图1，将△ABE沿BE折起，使得点A到达点P的位置（如图2），且平面PBE⊥平面BCDE
（1）证明：PB⊥平面PEC；
（2）若M为PB的中点，N为PC的中点，求三棱锥M﹣CDN的体积．
空间向量法：
例2、如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求证：AB1⊥A1BD。
当然我们也可以找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量，分别计算所求直线与这两条两相交直线向量的数量积，若数量积都为0，则说明线面垂直，各位同学可以自己亲手证明一下。
8.6.4 平面与平面垂直的判定解题技巧（判定两个平面垂直的常用 *** ）
(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;
(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;
(3) *** 质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.
任何 *** 都会有坎坷，教育 *** 也不例外。
今年 *** 数学结束后，声讨一浪高过一浪，是 *** 门、出题人真的违规了吗？还是外行人在为自己的小算盘做铺垫呢？
如果孩子今年参加 *** ，说实话，无论是孩子自己还是家长。都会心里难过，因为平时复习部分高频 *** 题型没有出现，比如线面垂直、线面平行证明，统计概率题目之一次以证明题型呈现给孩子们。这些导致平时基础一般，甚至基础还算比较扎实 *** 感觉难以适应。他们埋怨出题人，发泄他们都愤懑之情都是情理之中的。换做作者本人，也会有这样的心情，毕竟孩子们三年的心酸只有亲历者才能体会到，我作为高中数学老师，体会更是颇深。
如果自己孩子在不远的将来要参加 *** ，或者就是明年、后面参加 *** ，你想通过大众的 *** 声势来给国家 *** 门施加压力，通过这种方式，来引起国家 *** 门的重视，从而希望来年 *** 数学试题再归于题型固定话，直来直去送分题一大堆。让自己孩子在这样的 *** 中去扬长避短， *** 取得高分。在此我送你一句话，这样的时代从此彻底结束了， *** 门再次 *** ，肯定了今年数学试题的高质量。所谓的区分度也只是相对的，必须体现出数学的选拔 *** ！也就是用数学成绩衡量 *** 的天赋，仅仅靠数学一科不足以彻底改变 *** 的成绩，但是也能在一定程度上弥补选择过程中的缺失。其实除了数学，其他所有科目的 *** 变化都在进行中，包括史地政，只是这些学科造成的冲击不如数学罢了。
如果是老师或者教育从业者声讨，我觉得你就不太合格了，作为专业人士，你应该清楚的认识到这种题型固定，考点固定的 *** 模式在国家人才选拔中的弊端。应该支持国家出题策略！不能因为成绩考不好，自己的教学成绩体现不出来就跟着怨声载道。而是反思下一步的教学策略调整，我作为二十来年高中数学从业者，很了解各位同行的教学。反复模拟训练，针对 *** 题型考点，频繁重复练习。 *** 成了做题机器而不是去引导启发激发 *** 学习兴趣来达到提升学科素养的方式设计授课方案，所以数学老师们需要好好反思！
如果你只是凑看热闹的，还是别了。隔行如隔山，这些不是你们所能理解的！
考生必看！轻松搞定线面垂直 *** 数学重点知识讲解：直线、平面平行的判定及 *** 质讲到直线与平面、平面与平面之间的位置关系，我们总是能想到平行、相交等等各种情况。同时线与面之间的“错综复杂”关系，也让与立体几何相关很多问题的数学问题变得而更加复杂，如需要 *** 掌握好“转化”等数学思想，对空间想象能力、逻辑推理能力有一定的要求。
因此，跟直线与平面有关的题型一直是 *** 数学重点考查的对象之一，如要求考生会求解根据线与面之间的“互化”关系，借助添辅助线或面，找出符号语言与图形语言之间的关系，问题最终得到解决。
今天，我们就一起来讲讲 *** 考查的热点之一：直线与平面平行的判定与 *** 质相关的知识内容和典型例题，希望能帮助到大家的数学学习。
直线与平面平行通常会以锥体、柱体为载体，以解答题的形式出现，在解决问题的过程中，让我们对线面平行关系进行论证，以便最终解决问题。在解题过程中，每一步知识的论证，都很能考查考生的空间想象能力、计算能力、推理论证能力,以及转化思想的应用。
那么，跟直线与平面平行相关的定理、 *** 质有哪些呢？
直线与平面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行。
直线与平面平行 *** 质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
典型例题分析1：
如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BD，BB1的中点．
(1)求证：EF∥平面A1B1CD；
(2)求证：EF⊥AD1.
∴EF∥B1D.
又∵B1D?平面A1B1CD.
EF?平面A1B1CD，
∴EF∥平面A1B1CD.
(2)∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1.
又A1D∩A1B1＝A1，
∴AD1⊥平面A1B1D.
∴AD1⊥B1D.
又由(1)知，EF∥B1D，
∴EF⊥AD1.
利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。
掌握好平面与平面平行相关的 *** 质和定理。
平面与平面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
平面与平面平行 *** 质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
常用的判断面面平行的 *** ：
1、利用面面平行的判定定理；
2、面面平行的传递 *** (α∥β，β∥γ?α∥γ)；
3、利用线面垂直的 *** 质(l⊥α，l⊥β?α∥β)。
大家一定要记住：在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；
而在 *** 质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”。
在解决问题过程中，很多时候，辅助线(面)是求证平行问题的关键，特别要注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行 *** 质的应用。
典型例题分析2：
如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．
(1)求证：E，B，F，D1四点共面；
(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.
解：(1)在正方形AA1B1B中，
∵AE＝B1G＝1，
∴BG＝A1E＝2，
∴BG綊A1E.
∴四边形A1GBE是平行四边形．
∴A1G∥BE.
又C1F綊B1G，
∴四边形C1FGB1是平行四边形．
∴FG綊C1B1綊D1A1.
∴四边形A1GFD1是平行四边形．
∴A1G綊D1F.
∴D1F綊EB.
故E，B，F，D1四点共面．
(2) ∵H是B1C1的中点，
∴B1H＝3/2.
又B1G＝1，
∴B1G/B1H=2/3.
又FC/BC=2/3，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，
∴△B1HG∽△CBF.
∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG.
∴HG∥FB.
∵GH?面FBED1，FB?面FBED1，
∴GH∥面BED1F.
由(1)知A1G∥BE，A1G?面FBED1，BE?面FBED1，
∴A1G∥面BED1F.
且HG∩A1G＝G，
∴平面A1GH∥平面BED1F.
对于数学问题，永远没有小事，错一个符号，都可能让整道题目错失分数。解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：
1、判定定理与 *** 质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视。
2、结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断。
3、举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确。
典型例题例题分析3：
一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一动点．
(2) 连接DB，FN，由四边形ABCD为正方形，
且N为AC的中点知B，N，D三点共线，且AC⊥DN.
又∵FD⊥AD，FD⊥CD，
AD∩CD＝D，
∴FD⊥平面ABCD.
∵AC?平面ABCD，∴FD⊥AC.
又DN∩FD＝D，
∴AC⊥平面FDN.
又GN?平面FDN，
∴GN⊥AC.
(3)点P与点A重合时，GP∥平面FMC.
取FC的中点H，连接GH，GA，MH.
∵G是DF的中点，
∴GH=1/2CD.
又M是AB的中点，
∴AM=1/2CD.
∴GH∥AM且GH＝AM.
∴四边形GHMA是平行四边形．
∴GA∥MH.
∵MH?平面FMC，GA?平面FMC，
∴GA∥平面FMC，即当点P与点A重合时，GP∥平面FMC.
随着“新 *** ” *** 不断深入，对 *** 数学也提出新的要求，如让数学更加能体现选拔人才的功能。按照这样的命题思路， *** 数学就会出现一些构思精巧、新颖别致、极富思考 *** 、挑战 *** 等创新型试题。
这些创新试题的出现，不仅能很好考查考生知识掌握程度，更加能考查考生运用知识解决问题的能力，对人才选拔起到很好的区分度和选拔功能。
典型例题4：
如图，点C是以AB为直径的圆上一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE＝1/2BC＝2，AC＝CD＝3.
(1)证明：EO∥平面ACD；
(2)证明：平面ACD⊥平面BCDE；
(3)求三棱锥E－ABD的体积．
在△ABC中，O为AB的中点，M为BC的中点，
∴OM∥AC.
在直角梯形BCDE中，DE∥BC，且DE＝1/2BC＝CM，
∴四边形MCDE为平行四边形．
∴EM∥DC.
∴平面EMO∥平面ACD，
又∵EO?平面EMO，
∴EO∥平面ACD.
(2) 证明：∵C在以AB为直径的圆上，
∴AC⊥BC.
又∵平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC＝BC.
∴AC⊥平面BCDE.
又∵AC?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面BCDE.
(3)由(2)知AC⊥平面BCDE.
又∵S△BDE＝1/2×DE×CD＝1/2×2×3＝3，
∴VE－ABD＝VA－BDE＝1/3×S△BDE×AC＝1/3×3×3＝3.
*** 数学要考查的不仅是大家对有关概念和定理的概括、证明和应用等等数学 *** 知识，更会考查空间感、逻辑推理能力等数学素养。因此，大家一定要掌握好点、线、面、 *** 置关系的所有基础知识，同时要学会数 *** 系实际生活，从实际生活中感受数学知识的存在，结合有关实物模型，通过直观感知、 *** 作确认、合情推理等等进一步掌握好直线与平面平行相关知识内容。
小数老师说：
小数老师开始推送必修二第三章啦，今天带来的是线面、面面垂直的 *** 质，同学们好好学，这一系列知识都是 *** 热点，大家一定要认真学习！
暑期做好这三点，明年大学随你选：养成良好学习习惯、关注高中数学专栏、听免费公开课
