宫建红（江苏省扬中市第二高级中学）

教学内容解析

本节课是苏教版教材必修2中之一章第二节的内容，属于新授概念原理课.其中直线与平面垂直的概念及判定定理的形成是教学重点.

图1是直线与平面垂直在本节中的位置.线面垂直是在 *** 掌握了线在面内，线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的特例.在线面平行中，我们研究了定义、判定定理以及 *** 质定理，为本节课提供了研究内容和研究 *** 上的范式.线面垂直是线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，且后续内容。例如，空间的角和距离等又都使用它来定义，在本章中起着承上启下的作用.

通过本节课的学习研究，可进一步完善 *** 的知识结构，更好地培养 *** 观察发现、空间想象及推理能力，体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想 *** ．因此，学习这部分知识有着非常重要的意义．

教学目标设置

（1）理解直线与平面垂直的定义和判定定理，会用自然语言、图形语言、符号语言来表示定义和判定定理.

（2）掌握线线垂直与线面垂直之间的相互转化关系，从而体会降维化归的思想.

（3）在定义及定理的探究活动中，发展 *** 合情推理能力与演绎推理的能力.

（4）经历借助实例、图形思考问题的过程，进一步发展空间观念.

*** 学情分析

1. *** 已有的认知基础

*** 能够感知生活中有大量的线面垂直关系，已经掌握了线线垂直与线面平行的相关知识，从而具备了研究空间位置关系的经验，也体会了立体几何中化归的数学思想 *** .

2.达成目标所需要的认知基础

要达成本节课的目标，这些已有的知识和经验基础不可或缺，除此之外，还需要整体上把握本节课的研究内容、 *** 和途径，能运用类比、化归等数学思想，同时还需要具备较好地观察发现、空间想象、合情推理、抽象概括等能力，以及 *** 思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.

*** 情况： *** 大部分基础薄弱，自主学习能力差.进入高一，虽然能领悟一些基本的数学思想与 *** ，但还没有形成完整及严谨的数学思维习惯，对问题的探究能力也有待培养.

3.教学难点及突破策略

教学难点：

（1）运用类比及化归等数学思想 *** 来研究直线与平面垂直的定义，突破对“任意”的生成和理解.

（2）探究、归纳、理解直线与平面垂直判定定理，突破“无限”与“有限”的转化.

突破策略：

（1）启发 *** 明确研究的内容与 *** ，从总体上认识研究的目标与手段．

（2）引导 *** 经过直观感知、 *** 作确认、思辨论证的过程形成线面垂直的定义和判定定理.

（3）发动 *** 通过问题串交流、汇报、展示思维过程，相互启发.

教学策略分析

根据 *** 已有学习基础，为提升 *** 的学习能力，本节课的教学，采用教法和学法如下。

（1）教师创设情境， *** 列举实例，形成关于线面垂直的直观感知.

（2）教师启发引导， *** 明确按照“定义—判定— *** 质”的研究程序，强化空间位置关系的常用研究策略，即降维化归.

（3）教师以问题串为载体，驱动 *** 主动参与知识建构及合作探究.

（4）教师分层设计知识应用，引导反思， *** 深化理解，形成知识体系.

教学过程

一、 创设情境，建构定义

1.回顾旧知，引入课题

问题1：直线和平面有几种位置关系？

问题2：我们已经掌握了直线和平面平行的哪些内容？

问题3：直线与平面相交中最特殊的一种位置关系是什么？

问题4：我们要研究关于直线与平面垂直的什么内容？

问题5：该怎样研究直线与平面垂呢？

师生活动：通过问题让 *** 复习已经学过的知识，让 *** 利用手中的工具摆出“线面相交”的情形，并指出其中最特殊的情况，并进行命名. *** 说出要研究直线与平面垂直的哪些内容和怎样去进行研究.

【设计意图】简单回顾直线与平面的三种位置关系和线面平行的研究内容及 *** ，引出直线与平面相交时的特殊情况，即直线与平面垂直及其研究内容.

2.创设情境，启发定义

情境1：直线与平面垂直在我们的生活中有许多直观的感知，举例说明.几何体中直线与平面垂直形象吗？举例说明.

情境2：有没有与地面不垂直的建筑物呢？举例说明.

问题6：如图2，,为什么感觉斜塔与地面不垂直？

问题7：关于垂直，我们已知的是什么？

问题8：能不能用已知的线与线的垂直关系来刻画未知的线与面的垂直关系呢？

师生活动： *** 能够从直观感知入手，通过教师的追问，引起 *** 思考，刻画出斜塔与地面不垂直的原因，进而抓住线面垂直就是平面内找不到与它不垂直的直线的关键点.

【设计意图】旨在让 *** 直观感知线面垂直. *** *** 举例，列举生活中，几何体 *** 面垂直的例子.大量丰富的正面例子有助于 *** 观察不同的例子所具有的共同特征，形成关于线面垂直的直观感知.再借助比萨斜塔的“斜”从反面启发定义.在正反例的对比中更容易抓住事物的本质与核心.

3.验证猜想，建构定义

问题9：一条直线真的能与一个平面内的所有直线都垂直吗？有这样的实际模型吗？

师生活动：通过教师提问：如图3，圆锥的轴所在的直线与底面内所有的直线都垂直吗？ *** *** 思考，小组交流，汇报.教师再用几何画板软件演示，说明猜想的合理 *** .

【设计意图】对于定义合理 *** 的解释及猜想正确 *** 的检验，直观演示能起到不可替代的效果.因此通过圆锥的实例，说明一条直线与平面内的所有直线都垂直的状态是存在的，也让 *** 的认知结构中拥有了关于概念的实际模型.

4.认识定义，巩固深化

问题10：你能给直线与平面垂直下个定义吗？

师生活动：通过辨析定义，即任意的含义是什么？其等价于所有吗？等价于无数吗？通过三种语言表示定义；通用利用定义，求证如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直与这个平面等多个环节进一步认识定义，体会定义中双向叙述的功能.并在作图的同时介绍垂线、垂面、垂足等概念.

【设计意图】对定义进行多角度和深入理解，对数学思维 *** 的渗透和对研究问题的 *** 的指导能在教学中达到事半功倍的效果.在 *** *** 思考后，让 *** 板演展示和相互评价，让 *** 得到充分的训练和表达，同时对证明格式提出规范 *** 要求.证明之后，再对题目重新深刻理解，从由直观的判断变为理 *** 的思考，符合 *** 的认知规律.在对定义的认识和例题的证明中多次使用三种语言转换，也有助于 *** 空间想象能力的培养.

二、简化定义，获得猜想

问题11：如图4，工人怎样检验旗杆是否与地面垂直呢？

师生活动：通过检验旗杆与地面是否垂直的问题激发 *** 寻求判定线面垂直的新 *** . *** 有要简化定义中的任意一条直线为有限条直线的想法.教师进而追问：简化成一条直线行吗？两条直线呢？ *** 进行思考及辩证. *** 能够猜想到一条直线垂直于平面内的两条相交直线就可以得到一条直线垂直于这个平面.

【设计意图】通过询问 *** ，工人如何检验旗杆是否与地面垂直的？让 *** 感受到了寻求判断线面垂直新 *** 的必要 *** ，这又坚定了 *** 简化定义中“任意一条”的想法，于此同时对 *** 的每一种想法进行辨析，培养了 *** 的空间想象能力，而后获得关于线面垂直判定定理的猜想.

三、汇报交流，形成定理

1.直观感知

师生活动： *** 带着猜想，寻找辅证的实例.

2. *** 作试验

师生活动： *** 带着猜想，进行实验：

（1）怎样将一本书立在桌面上，使得书脊能与桌面垂直？这样的书至少需要几页呢？

（2）将手中的练习纸折叠，折痕满足什么条件，折痕与桌面垂直？ *** 进行动手 *** 作，确认猜想.

3.直观演示

师生活动：教师通过几何画板软件演示，进一步说明猜想的合理 *** , *** 进一步增加直观体验.

4.形成判定

师生活动： *** 叙述线面垂直的判定定理，并用图形语言和符号语言表示直线与平面垂直的判定定理.教师进行点评与总结.

师：如图5，图6，哪一幅图更具有一般 *** ？说明理由.

师：判定定理也是由线线垂直推出线面垂直.这里的线较之定义发生了怎样的变化？

生1：已经简化为了面内两条相交直线.

师：线不在多，相交则行.现在去判断线面垂直有哪些 *** ？

生2：可以用定义，也可以用判定定理.

师：这样，除了定义以外，我们就又增加了一个判定线面垂直的 *** .在这里，我们可以把线面垂直的问题转化为线线垂直来解决，这充分体现了降维转化的思想.我们解决问题时也要选择更佳 *** .

【设计意图】获得猜想是合情推理的之一步，如何让 *** 在不加证明的情况下，心悦诚服的接受判定定理呢？对此，就要引导 *** 带着猜想，寻找实例验证，再通过折纸试验和几何画板软件演示双重 *** 作确认，在进一步增强 *** 的直观感受的同时进行理 *** 思考，最终形成定理.接着同样要求 *** 用三种语言表示它，认识定理.

四、数学应用，巩固深化

问题11：现在你是工人，怎样检验旗杆是否与地面垂直呢？

【设计意图】判定定理的应用分为三个层次进行。之一层次，让 *** 理解及记忆定理并进行简单运用；第二层次，通过空间简单位置关系的证明，培养 *** 逻辑推理能力，重视对 *** 思考策略的引导和启发，通过教师示范及 *** 互评规范证明题的书写；第三层次，训练 *** 灵活应用判定定理和定义，能适当的进行线线和线面位置关系之间的转化.

五、概括总结，分层作业

问题12：本节课我们学习了哪些知识？掌握了哪些 *** ？体会了哪些思想？今后我们还要学习什么呢？

师生活动： *** 思考并回答，教师适当点拨及补充.

【设计意图】 *** 式小结，使得不同的 *** 有不同的学习体验和收获. 引导 *** 主动建构，形成知识体系；预测未来的学习内容，旨在进一步感悟数学思想；规范立几学习，提出能力要求.

课后作业：必做题：第34页，1题（1）（2），3题；第36页，6,7题。

选做题：第37页，10题。

拓展题：运用今天的研究 *** ，你还能进行其他位置关系的探究吗？

【设计意图】分层布置作业，满足不同 *** 的学习能力要求.

典型例题分析1：

在棱长为2的正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，则点B到平面A1B1CD的距离是 ．

考点分析：

棱柱的结构特征．

题干分析：

以D为 *** ，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面A1B1CD的距离．

典型例题分析2：

边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1若将其对角线AC1与平面α垂直，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面α上的投影面积为 ．

考点分析：

平行投影及平行投影作图法．

题干分析：

根据题意，画出图形，找出与AC1垂直的平面去截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面是什么，

再求正方体在该平面上的投影面积．

典型例题分析3：

如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE（A1?平面ABCD）．若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（ ）

考点分析：

命题的真假判断与应用．

题干分析：

对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得BM∥平面A1DE，即可判断A；

对于B，运用平行线的 *** 质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可判断B；

对于C，连接A1O，运用线面垂直的判定定理和 *** 质定理，可得AC与DE垂直，即可判断C；

对于D，由直角三角形的 *** 质，可得三棱锥A1﹣ADE外接球球心为O，即可判断D．